Trigonometria - FeynMath

Teoremi sui Triangoli Rettangoli

Definizioni Fondamentali

In un triangolo rettangolo, le funzioni trigonometriche mettono in relazione gli angoli acuti con i rapporti tra i lati:

Seno: Rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa.
Coseno: Rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa.
Tangente: Rapporto tra il cateto opposto e il cateto adiacente.

\[ \sin \alpha = \frac{a}{c}, \quad \cos \alpha = \frac{b}{c}, \quad \tan \alpha = \frac{a}{b} \]

Primo Teorema

In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale a quella dell'ipotenusa moltiplicata per il seno dell'angolo opposto o per il coseno dell'angolo adiacente.

\[ a = c \cdot \sin \alpha \] \[ a = c \cdot \cos \beta \]

Secondo Teorema

In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale a quella dell'altro cateto moltiplicata per la tangente dell'angolo opposto al primo, o per la cotangente dell'angolo adiacente al primo.

\[ a = b \cdot \tan \alpha \] \[ b = a \cdot \tan \beta \]

Teoremi sui Triangoli Qualunque

Teorema dei Seni (Eulero)

In un qualunque triangolo, il rapporto tra la misura di un lato e il valore del seno dell'angolo opposto è costante ed è uguale al diametro della circonferenza circoscritta.

\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R \]

Teorema del Coseno (Carnot)

In un triangolo qualunque, il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati diminuita del doppio del loro prodotto per il coseno dell'angolo compreso tra essi.

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha \]

Nota: Se \(\alpha = 90^\circ\), il termine \(\cos 90^\circ = 0\) e il teorema si riduce al Teorema di Pitagora.

Teorema dell'Area

La misura dell'area di un triangolo è uguale al semiprodotto delle misure di due suoi lati per il seno dell'angolo fra essi compreso.

\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma \]